طريقة حل المعادلات رياضيات

طريقة حل المعادلات رياضيات

طريقة حل المعادلات

حل معادلة الدرجة الاولى في مجهول واحد( المعادلة البسيطة)

سنتعرف في هذا الدرس على كيفية حل معادلة الدرجة الاولى فى مجهول واحد ، , و تسمى ايضا بالمعادلة البسيطة نظرا لانها ابسط انواع المعادلات.

لو نظرنا الى المثال الاتى :
س + 4 = 7 يمكن ترجمة هذه المعادلة الى السؤال التالي:

ما هو العدد المجهول الذي اذا اضيف الى العدد 4 كان الناتج 7 ?

اعتقد انك ستتوصل الى الاجابة بسرعة ... نعم ... العدد هو 3 ( لاحظ ان المجهول هنا هو الرمز س).

حسنا ... سأعطيك مثال اخر و هو : 3س =15

انت تعلم عزيزى الطالب ان 3س تعنى ان العدد 3 مضروب فى الرمز س كما درست فى باب الحدود الجبرية، و بذلك يمكننا ان نترجم المعادلة الى السؤال التالي :

ما هو العدد المجهول الذي اذا ضربناه فى العدد 3 كان الناتج هو العدد 15 ?

طبعا ستكون اجابتك هي العدد 5 .

و لكن ....الموضوع لن يسير بهذه البساطة دائما....

ما رأيك ان نجعل السؤال اصعب بعض الشىء ? و نكتب هذا المثال:

ما هو حل المعادلة 6 س +39 = -9 ?

و هذه المعادلة تعني ما هو العدد الذي اذا ضرب في العدد 6 و اضيف الناتج الى العدد 39 كان الناتج -9 ؟

اعتقد ان اجابتك ستستغرق بعض الوقت؟

لذلك كان لا بد من وضع طرق محددة نستخدمها لحل المعادلات هذه الطرق تسمى الطرق الجبرية ، بها نستطيع ان نحل اي معادلة من الدرجة الاولى ايا كانت مدى صعوبتها.

ما رايك ان نقوم الان بشرح طرق حل معادلة الدرجة الاولى فى مجهول واحد ? و فى نهاية الدرس نحل معا المعادلة السابقة.

حل معادلة الدرجة الاولى باستخدام الاضافة:

و نستخدم هذه الطريقة عندما نريد التخلص من العدد المجموع أو المطروح من المجهول و ذلك باضافة المعكوس الجمعي لهذا العدد الى طرفي المعادلة .

ملحوظة هامة:

عند حل اي معادلة بسيطة نبحث عن مكان المجهول فيها ، بمعنى الطرف الذي يوجد به س هل هو الطرف الايمن ام الطرف الايسر و نحاول ان نتخلص من الاعداد الموجودة فى هذذا الطرف.

مثلا:

لحل المعادلة س +4 =7 نتبع الاتى:

نتخلص من العدد الموجود مع المجهول (س) فى الطرف الايمن و هو هنا العدد 4

اذا س +4 -4 =7 -4 باضافة المعكوس الجمعى للعدد 4 للطرفين

اذا س + 0 = 3

اذا س=3

اذا مجموعة الحل = {3}

مثال:

حل المعادلة س -2 = 7

الحل

بما ان س - 2= 7

اذا س = 7 + 2 باضافة المعكوس الجمعى للعدد -2 للطرفين

اذا س = 9

مثال من برنامج فكري فى حل المعادلات:



حل معادلة الدرجة الاولى باستخدام القسمة:

و نستخدم هذه الطريقة عندما نريد التخلص من العدد المضروب فى س و ذلك بالقسمة على هذا العدد.

مثلا:

لحل المعادلة 3س =15 نتبع الاتى:

نتخلص من العدد الموجود مع المجهول (س) فى الطرف الايمن و هو هنا العدد 3

اذا 3 س /3 = 15 /3 بالقسمة على العدد 3

اذا س= 5 ( لاحظ ان 3÷3 =1 ، 15 ÷ 3=5 )

اذا مجموعة الحل = {5}

مثال :

حل المعادلة 5 س = 40

الحل:

بما ان 5س = 40 بالقسمة على العدد 5

اذا س=8

اذا مجموعة الحل = {8}





اذا كنت تريد المزيد من المعادلات و معرفة طريقة الحل لاي معادلة فسارع بشراء برنامج فكري فى حل المعادلات.

للحصول على تدريبات فى هذا الجزء اذهب الى صفحة التدريبات.

حل معادلة الدرجة الاولى باستخدام طريقتى الاضافة و القسمة معا:

تستخدم هذه الطريقة عندما نريد التخلص من العدد الممجموع أ و المطروح من المجهول( س) و المضروب فى المجهول (س).

و الان سنقوم بحل المعادلة 6 س +39 = -9 :

سنتخلص الان من العدد المجموع من س اولا و هو العدد 39 باستخدام طريقة الاضافة ، و سيكون شكل المعادلة:

6 س +39 -39 = -9 -39 باضافة المعكوس الجمعى للعدد 39

اذا 6 س= -48

اذا 6 س /6 = -48 /6 بالقسمة على العدد 6

مثال :

حل المعادلة 3 س- 6 = 15

الحل:

بما ان 3 س- 6 = 15

اذا 3 س-6 +6 = 15 +6 باضافة المعكوس الجمعى للعدد -6 >

اذا 3س = 21

اذا س= 7 بالقسمة على العدد 3

مجموعة الحل = {3}







ملحوظة هامة:

الصورة العامة التى سنستخدمها هنا هي أ س + ب ص=ج

حبث أ ، ب ، ج تسمى ثوابت ، مع ملاحظة ان أ لا تساوي الصفر. و س تسمى مجهول او متغير

فمثلا في المعادلة 4س+8 = 16 يكون :

أ=4 ب=8 ج=16




--------------------------------------------------------------------------------



حل معادلة الدرجة الاولى في مجهولين:

سنتعرف في هذا الدرس على كيفية حل معادلة الدرجة الاولى فى مجهول واحد.

و اضح من الاسم ان هذه المعادلة تحتوي على مجهولين (متغيرين) و هما س ، ص .

الصورة العامة للمعادلة هى أس+ب ص=ج حبث أ ، ب ، ج تسمى ثوابت ، مع ملاحظة ان أ ، ب لا تساويان الصفر.

مثلا:

المعادلة س+ص =7 تعتبر مثال بسيط على معادلة من الدرجة الاولى فى مجهولين و الان ...ماذا تعنى هذه المعادلة؟

هذه المعادلة تعنى: ما هما العددان المجهولين اللذين ناتج جمعهما يساوى 7 ؟

ربما تكون الاجابة 2 ،5 او 1،6 أو 4،3 أو -4 ،11 أو 2.5 ، 4.5 أو ...............................

واضح ان الاجابة ستكون حلول غير منتهية . و لذلك نستطيع ان نقول:

معادلة الدرجة الاولى في مجهولين تحتوى على عدد لانهائى من الحلول .

و الان سيظهر سؤال : ما هي الصورة التى يكتب بها الحل؟

يكتب الحل على صورة زوج مرتب هكذا ( 3،4) مع ملاحظة ان :

1- المسقط الاول يشير الى قيمة س و المسقط الثاني يشير الى قيمة ص.
2- من خواص الزوج المرتب يكون(3،4) حل و (4،3 ) حل اخر.

اعتقد صديقي الطالب انك الان فى شوق لمعرفة طرق حل معادلة الدرجة الاولى في مجهولين .

يوجد طريقتين للحل هما الطريقة الجبرية و الطريقة البيانية.

الطريقة الجبرية :

تعتمد هذه الطريقة على تحويل معادلة الدرجة الاولى في مجهولين الى معادلة بسيطة من مجهول واحد.

كيف يتم ذلك؟

كما عرفت فى بداية الدرس ان معادلة الدرجة الاولى في مجهولين تحتوي على مجهولين س ، ص سنقوم بفرض قيمة لاحد المجهولين س أو ص و بذلك تتحول المعادلة الى معادلة بسيطة كما بالدرس السابق و نحلها باستخدام الاضافة و القسمة .

اعتقد انه من الافضل اعطاء مثال :

حسنا... سنقوم الان بايجاد احد حلول المعادلة 2 س +ص =5

و لايجاد ذلك سنفرض قيمة للمتغير س مثلا :

اي بفرض س=3 (يمكنك فرض اي عدد مناسب تريده)

اذا 2×3+ص=5

اذا 6 + ص=5 (اصبحت المعادلة فى مجهول واحد)

اذا ص = 5- 6 باضافة المعكوس الجمعى للعدد 6 للطرفين

اذا ص=-1

احد حلول المعادلة هى (3 ، -1)





الطريقة البيانية:

حل معادلة الدرجة الاولى في مجهولين بيانيا هو خط مستقيم .

و من المعروف ان الخط المستقيم يمكن تحديده بتعيين نقطتين عليه على الاقل .

من اين سنحصل على النقطتين؟

حيث ان النقطة يمكن كتابتها على صورة زوج مرتب لذلك فالنقطة هنا هى احد حلول المعادلة .

اي أن:

لحل المعادلة بيانيا يجب تجهيز حلين جبريا من حلول هذه المعادلة حتى يتسنى لنا رسم الخط المستقيم.

مثلا:

لتمثيل المعادلة 3 س+2 ص=5 نتبع الاتى:

بفرض ان س=3

اذا 3×3+2ص=5

اذا 9+2ص=5

اذا 2ص=5-9

اذا 2ص=-4

اذا ص=-2

اذا (3 ، -2) احد حلول المعادلة.

بفرض ان س=1

اذا 3×1+2ص=5

اذا 3+2ص=5

اذا 2ص=5-3

اذا 2ص=2

اذا ص=1

اذا (1 ، 1) احد حلول المعادلة.





ثم باستخدام المسطرة يمكنك رسم المستقيم الذي يمر بالنقطتين. و يكون حل المعادلة









--------------------------------------------------------------------------------







حل معادلتين من الدرجة الاولى فى مجهولين:

سنتعامل فى هذا الدرس مع معادلتين من الدرجة الاولى كلا منها يحتوي على مجهولين و كيفية حلهما معا فى آن واحد.
مثال توضيخي:
س + ص=6 ، س -ص =2
يمكن ترجمة هاتين المعادلتين الى الاتي:
ما العددان اللذين ناتج جمعهما 6 و طرحهما 2 ؟
طبعا العددان هما 4 ، 2
هل يوجد عددان غير ذلك ؟ لا
اذا يوجد حل وحيد لمعادلتين من الدرجة الاولى فى مجهولين.
كيف نعبر عن الحل؟
نعبر الخل فى صورة زوج مرتب و هذا يعني ان الحل (4 ،2) يختلف عن الحل (2 ، 4).
لاحظ ان:
المسقط الاول يمثل المجهول س و المسقط الثاني يمثل المجهول ص.
و الان ما هي طرق حل معادلتين من الدرجة الاولى فى متغيرين ؟
الطرقة الجبرية _ الطريقة البيانية

اولا : الطريقة الجبرية:
فكرة الحل:
يتم التخلص من احد المجهولين و عمل معادلة بسيطة فى المجهول الثاني و بعد حلها نوجد هذا المجهول الثاني و نعوض به في احد المعادلتين لايجاد المجهول الاول.

خطوات الحل:
1- للتخلص من احد المجهولين نجعل هذا المجهول فى احد المعادلتين معكوس جمعى لنفس المجهول فى المعادلة الاخرى.
مثلا :
4 س معكوسه الجمعي -4س ، - ص معكوسه الجمعي ص ، ........ و هكذا
2- نقوم بجمع المعادلتين لحذف المجهول المراد التخلص منه.
3- نحل المعادلة البسيطة التى ستظهر من ناتج الجمع لايجاد قيمة المجهول الاخر.
4- نعوض بقيمة هذا المجهول فى احد المعادلتين لايجاد قيمة المجهول الذي تم حذفه سابقا.

مثال:
حل المعادلتين :
3س+(1)ص=7 ، 1س+(3)ص= 5
الحل:
نقوم بترتيب المعادلتين
3س+(1)ص=7-------(1)
1س+(3)ص=5-------(2)
و نتخلص من المجهول س اولا (يمكنك التخلص من ص اولا )
بضرب المعادلة الاولى فى1و ضرب المعادلة الثانية فى -3ينتج أن
3س+(1)ص=7
-3س+(-9)ص=-15
_________________ بالجمع
0 +(-8)ص=-8 ...................... (نلاحظ بعد الجمع ظهور معادلة بسيطة فى المجهول ص)
بالقسمة على-8 اذا ص=1
بالتعويض عن ص فى المعادلة الاولى ينتج أن:
3س+(1)×1=7
اذا 3س+(1)=7
اذا 3س=7+(-1)
اذا 3س=6
بالقسمة على3 اذا س=2
اذا مجموعة الحل = {(2، 1)}





الطريقة البيانية:
لحل معادلتين من الدرجة الاولى فى مجهولين نمثل كل معادلة بيانيا كما فى الدرس السابق و الذي ينتج على الرسم خطين مستقيمين نقطة تقاطعهما على الشبكة البيانية يمثل حل المعادلتين معا.
و الشكل التالي يمثل الحل بيانيا للمعادلتين :

س+ 2 ص =3 ، 3 س + 2 ص =1





حل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد:

معادلة الدرجة الثانية هى معادلة تحتوى على س2 و الصورة العامة لها هى:
أس2+ ب س + ج =0 حيث أ ، ب ، ج ثوابت ، أ لا تساوي الصفر .
الطريقة الجبرية:
نستخدم التحليل فى هذه الطريقة .(استعن ببرنامج فكري فى التحليل )
مثال :
حل المعادلة : س2 + 6س +8 =0
الحل:
بما ان س2 + 6س +8 =0
اذا (س+ 4) ( س+2) =0
اذا س + 4=0 او س+ 2 =0

س= -4 او س=-2
اذا مجموعة الحل ={-4 ، -2}

المصدر: منتديات دومة الجندل

---

'vdrm pg hgluh]ghj vdhqdhj